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🔥 内容介绍
一、引言
Hammerstein 系统作为一类重要的非线性系统，由一个静态非线性环节和一个线性动态环节串联组成，广泛存在于化工、电力、机械等众多实际工程领域。传统的基于模型的控制方法在处理 Hammerstein 系统时，需要精确的系统数学模型，但实际中获取精确模型往往具有挑战性。数据驱动控制方法直接利用系统输入输出数据进行控制器设计，避免了复杂的建模过程，为 Hammerstein 系统的控制提供了新途径。然而，数据驱动控制方法在稳定性保证方面存在一定困难，如何在数据驱动框架下确保 Hammerstein 系统的稳定性成为研究热点。
二、Hammerstein 系统简介
（一）系统结构
（二）系统特性
非线性特性：静态非线性环节赋予系统非线性特性，使其能够描述复杂的非线性关系。这种非线性可能导致系统出现诸如极限环、分岔等复杂动态行为，增加了控制难度。
动态特性：线性动态环节决定了系统的动态响应，如响应速度、稳定性等。不同的线性动态环节参数会使系统对非线性输入的响应表现出不同的特性。
三、数据驱动控制方法
（一）基本原理
数据驱动控制方法摒弃了传统的精确建模过程，直接利用系统的输入输出数据来设计控制器。其核心思想是通过对历史数据的分析和处理，提取系统的动态信息，并以此为基础构建控制器，使系统输出尽可能跟踪期望输出。常见的数据驱动控制方法包括迭代学习控制、模型预测控制的某些数据驱动变体等。
（二）优势与挑战
优势：无需精确的系统模型，对于难以建模的复杂非线性系统，如 Hammerstein 系统，具有很强的适用性。能够快速适应系统参数变化和环境干扰，通过不断更新数据来调整控制器参数。
挑战：缺乏明确的系统模型，使得对系统稳定性和性能的理论分析变得困难。数据的质量和数量对控制效果影响较大，若数据存在噪声、缺失等问题，可能导致控制器性能下降。
四、具有稳定性保证的数据驱动控制设计
（一）稳定性分析理论基础
（二）基于数据的稳定性保证方法
基于数据的 Lyapunov 函数构造：利用系统的输入输出数据，通过系统辨识等技术估计系统的某些特性，进而构造 Lyapunov 函数。例如，根据数据估计出静态非线性环节和线性动态环节的相关参数，基于这些参数构造与系统状态相关的 Lyapunov 函数。
小增益定理应用：将 Hammerstein 系统看作由多个子系统组成，利用小增益定理分析这些子系统之间的增益关系，确保整个系统的增益满足稳定性条件。在数据驱动框架下，通过对数据的分析估计子系统的增益，进而判断系统稳定性。例如，估计静态非线性环节的增益和线性动态环节的增益，根据小增益定理要求，使它们的乘积满足一定的稳定性界限。
（三）控制器设计与稳定性结合
迭代学习控制与稳定性保证：在迭代学习控制框架下，每次迭代根据上一次迭代的误差来更新控制输入。为保证稳定性，在更新控制输入时，结合基于数据构造的 Lyapunov 函数或小增益定理的稳定性条件，调整学习率等参数。例如，若基于 Lyapunov 稳定性分析得出当前控制输入更新会导致系统不稳定，则适当减小学习率，以确保稳定性。
数据驱动模型预测控制：利用系统输入输出数据建立预测模型，预测系统未来输出。在设计模型预测控制器时，将稳定性条件作为约束条件加入到优化问题中。例如，在每个采样时刻，求解一个优化问题，使系统输出跟踪期望输出，同时满足基于小增益定理或 Lyapunov 稳定性理论导出的稳定性约束，从而保证系统在控制过程中的稳定性。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
%% Descrpition
% This script is ment to demonstrate a case where performing VRFT on a
% Hammerstein system may result in instability due to underestimation of
% the real gain of the system.
%% Some general settings
clc; close;
% Text setup
set(0, 'DefaultAxesFontSize', 10);
set(0, 'DefaultTextInterpreter', 'latex');
set(0, 'DefaultAxesTickLabelInterpreter', 'latex');
set(0, 'DefaultLegendInterpreter', 'latex');
set(0, 'DefaultColorbarTickLabelInterpreter', 'latex');
set(0, 'defaultAxesLabelFontSizeMultiplier', 1.3);
% Figure setup
set(0, 'defaultFigureColor', 'white');
set(0, 'defaultFigurePosition', [100, 100, 600, 400]);
set(0, 'DefaultAxesClipping', 'on');
set(0, 'DefaultLineClipping', 'on');
% Colors
NTNU_black = [0,0,0];
NTNU_blue = [0,80,158]/255;
NTNU_yellow = [247,208,25]/255;
NTNU_orange = [239,129,20]/255;
NTNU_brown = [207,184,135]/255;
NTNU_purple = [176, 27, 129]/255;
NTNU_green = [188, 208, 37]/255;
%% Parameters
Ts = 0.1;
T = 0:Ts:200;
var = 0;
%% Nonlinearity
sat = @(u) min(max(u,-0.5),0.5);
f = @(u) sat(u);
%% System
% Transfer function open loop
m1 = 1;
m2 = 0.5;
c1 = 0.2;
c2 = 0.5;
k1 = 1;
k2 = 0.5;
s = tf('s');
G1 = 1/(m1*s^2+c1*s+k1);
G2 = 1/(m2*s^2+c2*s+k2);
G = minreal(G1*G2);
% State space representation
sys = ss(G);
A = sys.A;
B = sys.B;
C = sys.C;
% Controller (step response)
r = 1;
u = @(x,K) K*(r - C*x);
% Closed loop system
dx = @(x,u) A*x + B*f(u);
% Simulation of ideal controller
K_ideal = 0.09;
M = feedback((K_ideal + 0.1/s)*G,1);
clc;
disp(evalfr(M,0))
disp(eig(M))
%%
x0 = zeros(size(A,1),1);
[~,x_cl_ideal] = ode45(@(t,x) dx(x,u(x,K_ideal)),T,x0);
y_cl_ideal = (C*x_cl_ideal')';
%% Sample open loop data
% Input data
U = 2*(1-(square(2 * pi * T / 120) + 1) / 2)'-1;
% Noise
noise = sqrt(var) * randn(size(T))';
% Sample data
[~,x_sample_data] = ode45(@(t,x) dx(x,interp1(T,U,t)),T,x0);
y_sample_data = (C*x_sample_data')' + noise;
%% VRFT identification
% Filter
W = c2d(tf(1,[0.3, 1]),Ts);
% Control strucuter (P)
Bf = c2d(tf(1), Ts);
% Identification
[~, theta] = VRFT1_ry(U, y_sample_data, c2d(M,Ts), Bf, W, 4, []);
disp(theta);
% Identified controller
K_vrft = theta;
% Simulation
[~,x_cl_identified] = ode45(@(t,x) dx(x,u(x,K_vrft)),T,x0);
y_cl_identified = (C*x_cl_identified')';
%% Figures
% Plot nonlinearity
u_domain = linspace(-1,1,100);
figure(1);
clf, grid on; hold on; box on;
plot(u_domain, f(u_domain),'b')
plot(u_domain, dff(u_domain),'r')
yline(mean(df(u_domain)),'r--')
yline(1,'k-')
% Plotting sample data
figure(2);
clf;
grid on; hold on; box on;
plot(T,y_sample_data,'b','linewidth',2,'displayname','$y(t)$')
plot(T,U,'k--','linewidth',2,'displayname','$u(t)$')
xlabel('t')
%ylabel('data')
legend('location','best')
% Plotting response
figure(3);
clf;
subplot(2,1,1);
grid on; hold on; box on;
plot(T,y_cl_ideal,'b','linewidth',2, 'DisplayName', '$y_{\textrm{ideal}}$')
plot(T,y_cl_identified,'-','linewidth',1, 'Color', [0,0,1,0.3], 'DisplayName', '$y_{\textrm{vrft}}$')
%ylim([0,1.5])
xlabel('t')
ylabel('y')
legend('location','best')
subplot(2,1,2);
grid on; hold on; box on;
plot(T,u(x_cl_ideal',K_ideal),'r','linewidth',2, 'DisplayName', '$u_{\textrm{ideal}}$')
plot(T,u(x_cl_identified',K_vrft),'-','linewidth', 1, 'Color', [1,0,0,0.3], 'DisplayName', '$u_{\textrm{vrft}}$')
%ylim([-1,2])
xlabel('t')
ylabel('u')
legend('location','best')
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告诫读者和自己第一，科学态度。历史学是一门科学，要学会做历史研究，就得有科学态度。科学态度不是与生俱来的，必须认真培养，关键是培养我们在研究中认真负责一丝不苟的精神。第二，献身精神。从事历史研究，就像从事其他任何科学研究一样，要有一种为科学研究而献身的精神，要热爱我们的研究事业，要有潜心从事这项工作的意志。没有献身精神，当然做不好科研工作。只想拿一个学位，那是很难学好做研究的。要拿学位，这一点可以理解，但我们读书，是为了自己获得真才实学。有了真才实学将来不论做什么工作，都是有用的。当然学位也是要的，但关键的是学问而不是学位。第三，查阅收集学术信息、资料的能力。青年学生要从事学术研究，就要培养能熟练地掌握查阅搜集学术信息、资料的能力。例如学习与研究英帝国史，就得了解国内外有关这个专业的基本情况，了解有关资料情况。像你们在北京地区学习，至少要大致了解北京地区有关英帝国史的中英文资料，熟悉与专业密切相关的主要图书馆，了解馆藏情况。这就需要经常去图书馆。我们这个专业不需要到田间考察，到工厂调研，但要去图书馆，去图书馆就是我们的调查研究。熟悉有关图书馆的情况是我们学习的一部分。今天，网络飞速发展，掌握网上查阅信息的技巧是非常必要的。第四，处理资料的能力。搜集的资料会越来越多，怎样安排它们也是一门学问。各学科各个研究人员的方式可能会有所不同，但总的原则是要有条理，便于记忆，便于查阅。第五，对资料的鉴别意识与鉴别能力。我们在使用研究资料时不能拿着就用，要有意识鉴别一下，材料是否可靠，什么样的材料更有价值。读书时，也不是拿着什么书就通读到底。有的书翻一翻即可，有的书则需认真读。区别哪些书翻一翻即可，哪些书得认真读，也不是一件容易的事，青年学生不是一下子就能做到这一点的，需逐渐培养这种能力。还有一点就是要学会使用计算机，能比较熟练地进行文字处理。
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