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🔥 内容介绍
一、引言
高光谱解混（HU）作为关键的信号处理流程，旨在从观测到的高光谱场景中识别潜在物质（即端元）及其相应比例（即丰度）。20 世纪 90 年代初 Craig 提出的一种著名的盲解混准则，将数据云最小体积包围单纯形的顶点视为良好的端元估计。实践和理论都表明，即使在没有纯像素的情况下，该准则依然有效。然而，这类算法在数值优化中可能面临繁重的单纯形体积计算等问题。本文在不涉及任何单纯形体积计算的前提下，利用凸几何事实 —— 由 N 个顶点构成的最简单单纯形可由 N 个相关超平面定义，提出一种快速盲解混算法。该算法中与 N 个顶点的 Craig 单纯形相关的 N 个超平面，每个都由 N - 1 个仿射独立的数据像素构建，并对其端元可识别性进行分析以支持其性能。所设计的算法无需数值优化，通过简单的线性代数计算搜索 N (N - 1) 个活动数据像素，从而提高计算效率。通过蒙特卡罗模拟和真实数据实验，证明该算法在计算效率和估计精度上优于一些基于 Craig 准则的基准算法。在此基础上，进一步探讨如何基于 HyperCSI 和 ADMM 实现高精度的高光谱图像修复。
二、高光谱解混基础
（一）HU 问题描述
（二）Craig 准则
Craig 准则基于最小体积包围单纯形的概念。在高光谱数据空间中，假设数据点形成一个数据云，端元对应的光谱向量应位于数据云的边界，构成最小体积包围单纯形的顶点。该准则认为这些顶点是端元的良好估计，在无纯像素场景下也展现出有效性。但传统基于 Craig 准则的算法在确定最小体积单纯形时，往往需要进行复杂的单纯形体积计算，这在数值优化过程中计算量巨大。
三、提出的快速盲解混算法
（一）基于超平面的构建
本文利用凸几何中单纯形与超平面的关系，提出新的盲解混算法。对于由 N 个顶点构成的单纯形，每个顶点可由 N - 1 个仿射独立的数据像素构建一个与之相关的超平面来确定。具体而言，对于 N 个顶点的 Craig 单纯形，每个超平面都由 N - 1 个精心选择的仿射独立数据像素构成。这种方法避免了传统算法中复杂的单纯形体积计算。
（二）端元可识别性分析
为保证算法性能，对端元可识别性进行分析。通过理论推导和数学证明，确定在何种条件下，基于超平面构建的算法能够准确识别端元。这包括对数据的分布、噪声的影响以及仿射独立像素选择的条件等方面的分析，为算法的有效性提供理论支持。
（三）计算效率提升
该算法无需进行数值优化，而是通过简单的线性代数计算搜索 N (N - 1) 个活动数据像素。相比于传统算法中反复进行的单纯形体积计算和复杂的优化迭代，本文算法大大减少了计算量，提高了计算效率。例如，在处理大规模高光谱数据时，传统算法可能需要数小时甚至数天的计算时间，而本文算法能够在短时间内完成解混任务。
四、基于 HyperCSI 和 ADMM 的高光谱图像修复
（一）HyperCSI 简介
HyperCSI 是一种用于高光谱图像分析的技术框架，它利用高光谱数据的空间 - 光谱相关性，对高光谱图像进行压缩感知和重建。在高光谱图像修复中，HyperCSI 通过对已知的部分高光谱数据进行分析，挖掘数据中的潜在信息，为图像修复提供基础。
（三）结合实现高精度修复
将基于超平面的快速盲解混算法与 HyperCSI 和 ADMM 相结合。首先，利用快速盲解混算法对高光谱数据进行初步解混，获取端元和丰度的估计。然后，基于 HyperCSI 框架，利用这些估计信息以及高光谱数据的空间 - 光谱相关性，构建图像修复的优化模型。最后，通过 ADMM 算法求解该优化模型，实现高精度的高光谱图像修复。在这个过程中，快速盲解混算法提供了准确的初始估计，HyperCSI 挖掘了数据的潜在信息，ADMM 则高效地求解优化问题，三者协同工作，使得修复后的高光谱图像在光谱和空间信息上都能很好地逼近原始图像。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
t;
%figure(1)
% Display all bands
%allShow(X);
[M, N, L] = size(X); % Get the size of the data
% Set number of bands to be corrupted
num_corrupted_bands = 181;
% Set number of components
num_components = 6;
%% Corrupt Data
% Set the percentage of columns to be zero (in this case, 50%)
pct_zero = 0.995;
% Compute the number of columns to set to zero
num_zero_cols = round(pct_zero * N);
% Set random seed
rng(999);
% Randomly select the columns to set to zero
idx_zero_cols = randperm(N, num_zero_cols);
% Create mask for columns
mask_col = true(1, N);
mask_col(idx_zero_cols) = false;
% Calculate percentage of missing data
percent_missing = (num_corrupted_bands*pct_zero/183)*100;
🔗 参考文献
C.-H. Lin, C.-Y. Chi, Y.-H. Wang, and T.-H. Chan, ``A fast hyperplane-based minimum-volume enclosing simplex algorithm for blind hyperspectral unmixing,"arXiv preprint arXiv:1510.08917, 2015.
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告诫读者和自己第一，科学态度。历史学是一门科学，要学会做历史研究，就得有科学态度。科学态度不是与生俱来的，必须认真培养，关键是培养我们在研究中认真负责一丝不苟的精神。第二，献身精神。从事历史研究，就像从事其他任何科学研究一样，要有一种为科学研究而献身的精神，要热爱我们的研究事业，要有潜心从事这项工作的意志。没有献身精神，当然做不好科研工作。只想拿一个学位，那是很难学好做研究的。要拿学位，这一点可以理解，但我们读书，是为了自己获得真才实学。有了真才实学将来不论做什么工作，都是有用的。当然学位也是要的，但关键的是学问而不是学位。第三，查阅收集学术信息、资料的能力。青年学生要从事学术研究，就要培养能熟练地掌握查阅搜集学术信息、资料的能力。例如学习与研究英帝国史，就得了解国内外有关这个专业的基本情况，了解有关资料情况。像你们在北京地区学习，至少要大致了解北京地区有关英帝国史的中英文资料，熟悉与专业密切相关的主要图书馆，了解馆藏情况。这就需要经常去图书馆。我们这个专业不需要到田间考察，到工厂调研，但要去图书馆，去图书馆就是我们的调查研究。熟悉有关图书馆的情况是我们学习的一部分。今天，网络飞速发展，掌握网上查阅信息的技巧是非常必要的。第四，处理资料的能力。搜集的资料会越来越多，怎样安排它们也是一门学问。各学科各个研究人员的方式可能会有所不同，但总的原则是要有条理，便于记忆，便于查阅。第五，对资料的鉴别意识与鉴别能力。我们在使用研究资料时不能拿着就用，要有意识鉴别一下，材料是否可靠，什么样的材料更有价值。读书时，也不是拿着什么书就通读到底。有的书翻一翻即可，有的书则需认真读。区别哪些书翻一翻即可，哪些书得认真读，也不是一件容易的事，青年学生不是一下子就能做到这一点的，需逐渐培养这种能力。还有一点就是要学会使用计算机，能比较熟练地进行文字处理。
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