1 可分性的定义与典型例子
定义 1.1：设(E,d)(E,d)(E,d)为度量空间。若存在子集D⊂ED\subset ED⊂E使得
- DDD可数；2)DDD在EEE中稠密（即D‾=E\overline D=ED=E），
则称EEE可分（separable）。
例子：R 在通常距离下可分。取 D=Q,则 Q 可数且在 R 中稠密。同理 Rn 可分：取 D=Qn，它可数且稠密于 Rn. \boxed{ \begin{array}{l} \text{例子：}\mathbb R \text{ 在通常距离下可分。取 }D=\mathbb Q, \text{则 }\mathbb Q\text{ 可数且在 }\mathbb R\text{ 中稠密。}\\ \text{同理 }\mathbb R^n\text{ 可分：取 }D=\mathbb Q^n\text{，它可数且稠密于 }\mathbb R^n. \end{array}}例子：R 在通常距离下可分。取 D=Q,则 Q 可数且在 R 中稠密。同理 Rn 可分：取 D=Qn，它可数且稠密于 Rn.
很多分析中的空间都是可分的：
- 有限维赋范空间必可分；
- 经典结论：Lp(1≤p<∞)L^p(1\le p<\infty)Lp(1≤p<∞)与ℓp(1≤p<∞)\ell^p(1\le p<\infty)ℓp(1≤p<∞)可分；
- 若KKK是紧致度量空间，则C(K)C(K)C(K)（连续函数空间）可分。
但也有重要的不可分例子：
- L∞L^\inftyL∞与ℓ∞\ell^\inftyℓ∞一般不可分。
2 子集的可分性继承
命题 2.1：设(E,d)(E,d)(E,d)为可分度量空间，F⊂EF\subset EF⊂E为任意子集（不必闭、不开）。则FFF在诱导距离下也是可分度量空间。
证明：取EEE的一个可数稠密集D={ un}n≥1D=\{u_n\}_{n\ge 1}D={un}n≥1。再取一列正数rm↓0r_m\downarrow 0rm↓0（例如rm=1/mr_m=1/mrm=1/m）。
对每对指标(m,n)(m,n)(m,n)，若球B(un,rm)∩F≠∅B(u_n,r_m)\cap F\neq\emptysetB(un,rm)∩F=∅，就从中任选一点记为am,n∈B(un,rm)∩Fa_{m,n}\in B(u_n,r_m)\cap Fam,n∈B(un,rm)∩F。令
A={ am,n: B(un,rm)∩F≠∅}. A=\{a_{m,n}:\ B(u_n,r_m)\cap F\neq\emptyset\}.A={am,n: B(un,rm)∩F=∅}.
显然AAA至多可数。下面证AAA在FFF中稠密：任取x∈Fx\in Fx∈F与ε>0\varepsilon>0ε>0，选mmm使rm<ε/2r_m<\varepsilon/2rm<ε/2。由DDD在EEE中稠密，存在unu_nun使
d(x,un)<rm. d(x,u_n)<r_m.d(x,un)<rm.
于是x∈B(un,rm)∩Fx\in B(u_n,r_m)\cap Fx∈B(un,rm)∩F，该交集非空，从而存在am,n∈Aa_{m,n}\in Aam,n∈A且d(am,n,un)<rmd(a_{m,n},u_n)<r_md(am,n,un)<rm。因此
d(am,n,x)≤d(am,n,un)+d(un,x)<rm+rm<ε. d(a_{m,n},x)\le d(a_{m,n},u_n)+d(u_n,x)<r_m+r_m<\varepsilon.d(am,n,x)≤d(am,n,un)+d(un,x)<rm+rm<ε.
故AAA稠密于FFF，从而FFF可分。证毕。
