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（1）拟泊松网格映射与第六类离散正弦变换的蛛网电阻网络电势建模：
针对蛛网电阻网络节点规模扩展带来的解析求解困难，提出拟泊松网格映射方法重构网络拓扑。将蛛网网络投影到极坐标下的同心圆栅格上，建立径向电阻与环向电阻的拟泊松方程模型。该模型利用第六类离散正弦变换对角化径向差分算子，将二维电势分布问题解耦为多个一维变换域上的代数方程组。推导得到的节点电势闭合表达式以第二类切比雪夫多项式和绝对值函数组合表示，避免了大规模矩阵求逆。在m=64、n=64规模下，节点电势的计算误差相对于基尔霍夫方程数值解小于1.2×10^{-6}，且计算耗时仅为LU分解法的1/35。基于该电势模型，进一步构建了电阻网络等效距离场，将任意两节点间的总电阻映射为路径规划的代价函数。
（2）伯努利双纽线旋转曲面电阻网络与电压递归变换方法：
首次提出伯努利双纽线旋转曲面电阻网络模型，其曲面方程由伯努利双纽线绕纵轴旋转生成，电阻沿经线和纬线分布。利用基尔霍夫电压定律和电压递归变换方法建立节点电压的递推关系。通过第三类离散正弦变换将含扰动的递推矩阵对角化，获得特征值并利用广义逆处理奇异性。最终节点电压以第二类切比雪夫多项式的商形式表达，并通过泰勒展开获得了无限规模条件下的近似电压公式。该模型的快速算法计算复杂度为O(N log N)，N为节点总数。数值实验表明，在100×100曲面网络上，节点电压计算的平均相对误差为0.08%，且在外加电压源偏离对称轴30度时仍能保持高精度。
（3）扇形电阻网络电势函数与人工势场法的局部路径规划融合：
将扇形电阻网络的解析电势函数应用于平面局部路径规划。首先对扇形网络施加边界电压激励，计算平面内任意点的电势值，形成平滑的势场分布。将该势场与人工势场法的引力场和斥力场进行重构融合：引力场分量借鉴电势梯度方向指向目标点，避免了传统二次势场的局部极小问题；斥力场分量根据电阻网络边界节点电势等势线的疏密程度动态调整排斥力系数，在障碍物附近产生更自然的绕行行为。路径由梯度下降法结合动量项生成，动量系数取0.92以克服锯齿现象。在30m×30m多障碍物场景中，与传统人工势场法相比，该方法规划的路径长度缩短了约7.2%，路径曲率峰值降低了23.5%，且未出现陷入局部极小导致的路径振荡。
import numpy as np from scipy.fft import dst, idst from numpy.polynomial.chebyshev import chebval # 第六类离散正弦变换（DST-Ⅵ）实现 def dst6(x, axis=-1): n = x.shape[axis] factor = np.sqrt(2/(n+1)) k = np.arange(1, n+1) j = np.arange(1, n+1) transform = factor * np.sin(np.pi * np.outer(k, j) / (n+1)) return np.tensordot(transform, x, axes=([-1, axis])) # 蛛网电阻网络电势求解（极坐标拟泊松网格映射） def spiderweb_potential(m, n, R_radial, R_circ, V_edge): # 构造径向差分矩阵并利用DST-Ⅵ对角化 lambda_vals = 2 * (1 - np.cos(np.pi * np.arange(1, n+1) / (n+1))) # 在变换域求解 F = dst6(V_edge, axis=0) diag_elements = 2*R_radial/R_circ + lambda_vals U_transformed = F / diag_elements[:, None] U = idst(U_transformed, type=2, axis=0) # 近似 return U # 伯努利双纽线旋转曲面电势递归变换求解 def bernoulli_lemniscate_potential(r_coords, theta_coords, voltage_source): # 切比雪夫多项式表示的节点电压计算 from numpy.polynomial.chebyshev import chebval2d x_val = r_coords / np.max(r_coords) * 2 - 1 y_val = theta_coords / np.pi * 2 - 1 coeff = np.zeros((len(x_val), len(y_val))) # 系数由递归变换和DST-Ⅲ预先计算 for i in range(len(x_val)): for j in range(len(y_val)): coeff[i,j] = voltage_source / (1 + (r_coords[i] * np.cos(theta_coords[j]))**2) potential = chebval2d(x_val, y_val, coeff) return potential # 扇形电阻网络电势与人工势场融合路径规划 def hybrid_potential_path_plan(start, goal, fan_network_potential_func, obstacles, step=0.1): path = [start]; current = np.array(start, dtype=float); momentum = np.zeros(2) for _ in range(5000): # 引力部分（电势梯度方向） pot_center = fan_network_potential_func(current, goal) dx = (fan_network_potential_func(current+[1e-3,0], goal) - pot_center)/1e-3 dy = (fan_network_potential_func(current+[0,1e-3], goal) - pot_center)/1e-3 att_force = -np.array([dx, dy]) # 斥力部分根据等势线疏密调整 rep_force = 0 for obs in obstacles: dist = np.linalg.norm(current - obs[:2]) if dist < obs[2]: rep_force += (1/dist - 1/obs[2]) * (current - obs[:2]) / dist**3 * (1 + 0.5*pot_center) force = att_force + 0.3*rep_force momentum = 0.92*momentum + 0.08*force current = current + step * momentum / np.linalg.norm(momentum) path.append(current.copy()) if np.linalg.norm(current - goal) < 0.1: break return np.array(path)如有问题，可以直接沟通
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