前序操作与博克斯坦操作的关系及自由分次模的泛代数
1. a、’l’z 与 <pz 的关系
设 A 是严格反交换的 DGA - 代数（特征为 2），在 f?J(A) 中存在一个分次幂系统，至少对次数 ≥ 2 的元素有定义，并且满足特定条件。若 A 配备有分次幂（针对次数 ≥ 2 的元素），则 f?J(A) 的分次幂 ‘’h 可过渡到同调 H*(f?J(A))。
命题 1：对于任意整数 q ≥ 1，复合映射（其中 a 表示悬置）等于转幂 <pz。用公式表示为：
(f)z = î’z O a （1）
此关系在 H *(A) 中次数为 2q（q ≥ 1）的偶数次元素上成立。
证明过程：设 a ∈ Àzq 且 da = O，存在唯一的 x ∈ f?Jzq + 1(A) 使得 dx = a，x 的同调类恰好是 a 的同调类的悬置 a。那么 yz(x) 是 f?J4q + z(A) 中唯一满足 dy = (dx) · x = ax 的元素 y。根据转幂的定义，y 的同调类是 a 的同调类通过转幂 <pz 变换得到的。
命题 1 推论：若 A 是次数为 0 的交换 DGA - 代数，且对于任意 a ∈ A 有 az = (ea)z，将（1）式的两边应用于任意元素 a ∈ A 时，关系（1）仍然成立。即复合映射 A –‘¼Hi(f?J(A)) 14Hz(f?J(A)) 等于转幂 <pz（在相关内容中也记为 i/J），证明方法与命题 1 类似。
需要注意的是，对于奇素数 p，转幂 <pP 是可
