矩阵中的“对角线强迫症”：如何优雅地判断Toeplitz矩阵？

举个栗子 🌰

例子1：
矩阵：

[6, 7, 8] [4, 6, 7] [1, 4, 6]

它的对角线分别是：[6,6,6], [7,7], [8], [4,4], [1]，每条对角线上的数字都相同，所以它是Toeplitz矩阵 ✅

例子2：
矩阵：

[6, 3, 8] [4, 9, 7] [1, 4, 6]

主对角线是[6,9,6]，元素不一样，所以它不是Toeplitz矩阵 ❌

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解法一：遍历每条对角线（O(n²)时间，O(1)空间）

思路很直接：以第一行和第一列的每个元素为起点，沿着对角线往下检查，确保所有元素都和起点相同。

#include<iostream>#include<vector>usingnamespacestd;boolcheckDiagonal(vector<vector<int>>&mat,intx,inty){intn=mat.size(),m=mat[0].size();for(inti=x+1,j=y+1;i<n&&j<m;i++,j++){if(mat[i][j]!=mat[x][y])returnfalse;}returntrue;}boolisToeplitz(vector<vector<int>>&mat){intn=mat.size(),m=mat[0].size();for(inti=0;i<m;i++)if(!checkDiagonal(mat,0,i))returnfalse;for(inti=0;i<n;i++)if(!checkDiagonal(mat,i,0))returnfalse;returntrue;}intmain(){vector<vector<int>>mat={{6,7,8},{4,6,7},{1,4,6}};cout<<(isToeplitz(mat)?"true":"false");return0;}

解法二：检查每个元素的左上邻居（O(n²)时间，O(1)空间）

这个解法更简洁！核心思想是：对于矩阵中除了第一行和第一列之外的每个元素，它必须等于它左上角的那个元素。因为对角线上的元素都是通过“向右下移动”连接的。

#include<iostream>#include<vector>usingnamespacestd;boolisToeplitz(vector<vector<int>>&mat){intn=mat.size(),m=mat[0].size();for(inti=1;i<n;i++){for(intj=1;j<m;j++){if(mat[i][j]!=mat[i-1][j-1])returnfalse;}}returntrue;}intmain(){vector<vector<int>>mat={{6,7,8},{4,6,7},{1,4,6}};cout<<(isToeplitz(mat)?"true":"false");return0;}

总结

两种方法的时间复杂度都是O(n²)，空间复杂度O(1)。方法一更符合定义，方法二更简洁优雅。推荐使用第二种，代码短且不容易出错。

Toeplitz矩阵在信号处理、数值分析等领域有广泛应用，掌握这个判断方法还是很有必要的哦！