【数学方法论】

数学里“归纳”只是证明“对所有自然数（或更一般的良序集）成立”的一种专用方法；
如果把“证明套路”放到整个数学的大工具箱里，可按“直接 / 间接 / 构造 / 反证 / 极限 / 组合 / 计算”等思想做一张全景图。下面给一份“尽量全、可检索”的清单，并注明典型使用场景，方便你快速定位。

一、直接证明类

1. 直接法（Direct proof）
   例：若 n 偶，则 n² 偶。
2. 构造法（Constructive proof / Explicit example）
   例：证明存在超越数→直接造 Liouville 数。
3. 充分必要条件双向（⇔）
   例：矩阵可逆 ⇔ 行列式 ≠0。

二、间接证明类
4. 反证法（Proof by contradiction）
例：√2 无理、素数无限。
5. 逆否证明（Contrapositive）
例：若 n² 奇则 n 奇。
6. 反例否定（Counter-example）
例：断言“所有连续函数都可导”→用 |x| 打破。

三、归纳与良序 family
7. 数学归纳法（MI）
① 第一归纳 ② 第二（强）归纳 ③ 反向归纳 ④ 双变量归纳 ⑤ 无穷下降（Fermat）
8. 超穷归纳 / 序数归纳（Transfinite induction）
例：证明 Zorn 引理→基尔莫定理。
9. 结构归纳（Structural induction）
例：语法树、λ-项的定理。
10. 良基归纳（Well-founded induction）
统一框架：任意良基集上的“无最小反例”论证。

四、极限 & 解析类
11. ε-δ 法（极限定义）
12. 夹逼 / 单调有界 / Cauchy 准则
13. 级数比较、积分判别、Stolz–Cesàro
14. 复围道积分（留数定理证积分）
15. 渐进分析（Big-O, 小 o, 渐近展开）

五、代数 & 线性工具
16. 同态基本定理（群–环–模–范畴）
17. 线性化：把非线性问题嵌入向量空间（例：图邻接矩阵→谱）
18. 模算术 / 同余管道（Chinese Remainder, Hensel）
19. 伽罗瓦对应（域扩张 ↔ 群）
20. 表示论：把抽象对象映到矩阵空间找不变量

六、组合 & 计数类
21. 双射法（Bijective proof）
例：Catalan 数组合解释。
22. 生成函数（普通 / 指数 / Dirichlet）
23. 抽屉原理 & Ramsey 理论
24. 染色 / 标号 / 权重法
25. 概率方法（Erdős “非构造存在”）
26. 拓扑组合（Sperner, Brouwer 不动点）

七、几何 & 拓扑类
27. 坐标解析法（把几何变代数）
28. 向量 / 复数 / 重心坐标
29. 变换群：欧氏、射影、Möbius
30. 反演、配极、螺旋相似
31. 割补 / 面积/体积胶合（例：勾股定理 100+ 证法）
32. 同伦 / 同调 / 基本群（证明“咖啡杯=甜甜圈”）
33. 指标理论（Atiyah-Singer 证指标=拓扑不变量）

八、数论专属
34. 无穷下降（已列③）
35. 模形式 & 椭圆曲线（证 Fermat Last Theorem）
36. 解析数论：ζ-函数、Dirichlet 特征、Perron 公式
37. 圆法（Hardy-Littlewood-Ramanujan）
38. 筛法（Brun, Selberg, Large sieve）

九、概率 & 测度
39. Borel-Cantelli / 0-1 律
40. 鞅停时定理（证随机游走结论）
41. 耦合（Coupling）与单调性
42. Stein 方法（证中心极限收敛率）

十、逻辑 & 计算
43. 公理化推导（ZF, Peano, ZFC+）
44. 模型论（紧性、Löwenheim-Skolem）
45. 力迫（Forcing）证 CH 独立
46. 自动定理证明（ resolution, Coq, Lean）

十一、反常规“奇技”
47. 图论“染色+局部引理”
48. 物理类比（电网络证随机游走）
49. 凸优化对偶（证不等式）
50. 信息熵法（证明组合不等式）
51. 代数几何（Weil 猜想、Faltings 证 Mordell）
52. 范畴论“泛性质”一次解决多构造

十二、元策略 & 混合
53. 分情况讨论（Case analysis）
54. 降维 / 升维（投影或嵌入）
55. 对偶空间 / 对偶命题（Desargues 对偶）
56. 参数化（引入辅助变量）
57. 迭代法（Banach 不动点、Newton）
58. 紧性论证（Heine-Borel, Tychonoff）
59. 光滑逼近（用光滑函数逼近连续函数）
60. 非标准分析（用超实数避开 ε-δ）

速查用法

• “证存在”→构造法 / 概率法 / 不动点
• “证不可能”→反证 + 不变量 / 奇偶 / 染色
• “对所有 n 成立”→归纳家族 / 良基
• “极限或渐进”→ε-δ / 积分判别 / 复围道
• “组合恒等式”→双射 / 生成函数 / 代数变形
• “几何难题”→解析坐标 / 变换群 / 反演 / 向量
• “数论大定理”→模形式 / 椭圆曲线 / 解析 ζ

把这张清单贴在桌前，遇到新命题先快速“匹配套路”，再深入细节，可大幅缩短找路时间。祝你证明愉快！