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Batch Normalization
在上一节，我们观察了各层的激活值分布，并从中了解到如果设定了合
适的权重初始值，则各层的激活值分布会有适当的广度，从而可以顺利地进
行学习。那么，为了使各层拥有适当的广度，“强制性”地调整激活值的分布
会怎样呢？实际上，Batch Normalization[11]方法就是基于这个想法而产生的。
Batch Normalization 的算法
Batch Normalization（下文简称Batch Norm）是2015 年提出的方法。
Batch Norm虽然是一个问世不久的新方法，但已经被很多研究人员和技术
人员广泛使用。实际上，看一下机器学习竞赛的结果，就会发现很多通过使
用这个方法而获得优异结果的例子。
为什么Batch Norm这么惹人注目呢？因为Batch Norm有以下优点。
- 可以使学习快速进行（可以增大学习率）。
- 不那么依赖初始值（对于初始值不用那么神经质）。
- 抑制过拟合（降低Dropout等的必要性）。
考虑到深度学习要花费很多时间，第一个优点令人非常开心。另外，后
两点也可以帮我们消除深度学习的学习中的很多烦恼。
如前所述，Batch Norm的思路是调整各层的激活值分布使其拥有适当
的广度。为此，要向神经网络中插入对数据分布进行正规化的层，即Batch
Normalization 层（下文简称Batch Norm层），如图6-16 所示。
Batch Norm，顾名思义，以进行学习时的mini-batch 为单位，按minibatch
进行正规化。具体而言，就是进行使数据分布的均值为0、方差为1 的
正规化。用数学式表示的话，如下所示。
μ B ← 1 m ∑ i = 1 m x i \mu_B \leftarrow \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m x_iμB←m1i=1∑mxi
σ B 2 ← 1 m ∑ i = 1 m ( x i − μ B ) 2 \sigma_B^2 \leftarrow \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x_i - \mu_B)^2σB2←m1i=1∑m(xi−μB)2
x ^ i ← x i − μ B σ B 2 + ϵ \hat{x}_i \leftarrow \frac{x_i - \mu_B}{\sqrt{\sigma_B^2 + \epsilon}}x^i←σB2+ϵxi−μB
这里对mini-batch 的m个输入数据的集合B = x 1 , x 2 , . . . , x m B = {x_1, x_2, . . . , x_m}B=x1,x2,...,xm求均值
μB 和方差$\sigma_B^2 \leftarrow \frac{1}{m} $。然后，对输入数据进行均值为0、方差为1（合适的分布）的
正规化。式（6.7）中的ε 是一个微小值（比如，10e-7等），它是为了防止出现
除以0 的情况。
式（6.7）所做的是将mini-batch 的输入数据x 1 , x 2 , . . . , x m {x_1, x_2, . . . , x_m}x1,x2,...,xm变换为均值为0、方差为1 的数据，非常简单。通过将这个处理插入到
激活函数的前面（或者后面）A，可以减小数据分布的偏向。
接着，Batch Norm层会对正规化后的数据进行缩放和平移的变换，用
数学式可以如下表示。
y i ← γ x ^ i + β y_i \leftarrow \gamma \hat{x}_i + \betayi←γx^i+β
这里，γ 和β 是参数。一开始γ = 1，β = 0，然后再通过学习调整到合
适的值。
上面就是Batch Norm的算法。这个算法是神经网络上的正向传播。如
果使用第5 章介绍的计算图，Batch Norm可以表示为图6-17。
Batch Norm的反向传播的推导有些复杂，这里我们不进行介绍。不过
如果使用图6-17的计算图来思考的话，Batch Norm的反向传播或许也能比较
轻松地推导出来。Frederik Kratzert 的博客“Understanding the backward
pass through Batch Normalization Layer”[13] 里有详细说明，感兴趣的读者
可以参考一下。
Batch Normalization的评估
现在我们使用Batch Norm 层进行实验。首先，使用MNIST数据集，观察使用Batch Norm层和不使用Batch Norm层时学习的过程会如何变化（源
代码在ch06/batch_norm_test.py中），结果如图6-18 所示。
从图6-18 的结果可知，使用Batch Norm后，学习进行得更快了。接着，
给予不同的初始值尺度，观察学习的过程如何变化。图6-19 是权重初始值的
标准差为各种不同的值时的学习过程图。
我们发现，几乎所有的情况下都是使用Batch Norm时学习进行得更快。
同时也可以发现，实际上，在不使用Batch Norm的情况下，如果不赋予一
个尺度好的初始值，学习将完全无法进行。
综上，通过使用Batch Norm，可以推动学习的进行。并且，对权重初
始值变得健壮（“对初始值健壮”表示不那么依赖初始值）。Batch Norm具备
了如此优良的性质，一定能应用在更多场合中。
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