尔曼滤波理论由鲁道夫·卡尔曼于1960年提出，随后在解决“阿波罗计划”中航天器的导航问题时获得成功。
卡尔曼滤波理论可以高效地处理测量误差。广泛的测量需求和测量误差的客观存在使它备受关注，从控制科学到电子信息，从航空航天到人工智能，很多领域都有它的身影。
然而仅凭“应用广泛”还不足以说明它的价值，事实上，它常出现在众多领域的高阶部分。有评论说，它是20世纪重要的数学发现之一。
我们用一个简单模型，逐步推导经典卡尔曼滤波理论，体会它的思想方法。
渐入佳境
今有秦岭冷杉，
次测量的树高为
，，，，
，通常的做法是取平均数作为测量结果。
下面通过方程变形，把
分离出来：
即
，
其中
，是通过前
次测量对树高的估计。
继续把
分离出来：
即
，
其中
，是通过前
次测量对树高的估计。
以此类推，有通式：
，
方程甲
即第
次的估计
，可由第
次的估计
融合第
次的测量
后得出。
这就形成了一种不断融合新数据、进行迭代优化的计算方法。
参数
可以用来调节“上次估计”与“本次测量”的采用比例。
接下来我们寻求一个最优的
。
画龙点睛
定义两个随机变量：
令随机变量
为“上次估计”的误差，即
的误差（
真实值
）。
令随机变量
为“本次测量”的误差，即
的误差（
真实值
）。
假设
与
相互独立。这意味着“上次估计(之前测量)的误差”与“本次测量的误差”不相关。
假设
与
均服从高斯分布。这意味着其线性组合
也服从高斯分布。
这两条假设是对数学模型的理想化，也是整个推导过程中的关键。
一方面我们可以据此得到一个简洁的方程，另一方面从现实世界的情况来看，这样的假设往往是合理的。
根据这两条假设，计算随机变量的方差：
简记为：
其中
为“本次估计”的误差方差，
为“上次估计”的误差方差，
为“本次测量”的误差方差。
这是一个开口向上的一元二次函数，在顶点（导数为零）处取得最小值。
为使“本次估计”的误差方差最小（估计最可靠），令：
解得：
方程乙
余霞成绮
此时，
即：
方程丙
至此，我们的推导结束了。
实践已经证明，这个基于假设得出的理论表现不俗。
文末附一段 java 程序，看一下“卡尔曼滤波器”的高效与简洁。
/**
* 一个简单的卡尔曼滤波器
*/
public class Filter {
private double x; // 估计值
private double p; // 估计误差方差
private final double q; // 测量误差方差
// 初始化
public Filter(double x, double p, double q) {
this.x = x;
this.p = p;
this.q = q;
}
// 优化估计
public void calc(double newX) {
double k = p / (p + q); // 对应 方程乙
x = (1 - k) * x + k * newX; // 对应 方程甲
p = (1 - k) * p; // 对应 方程丙
}
// 输出结果
@Override
public String toString() {
return "x=" + x + ", p=" + p + ", q=" + q;
}
}
/**
* 程序入口
*/
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入估计值：");
double x = scanner.nextDouble();
System.out.println("请输入估计误差方差：");
double p = scanner.nextDouble();
System.out.println("请输入测量误差方差：");
double q = scanner.nextDouble();
// 初始化滤波器
Filter filter = new Filter(x, p, q);
System.out.println("请依次输入测量值(小于零时退出)：");
// 迭代计算
while (true) {
double newX = scanner.nextDouble();
if (newX < 0) break;
// 优化估计
filter.calc(newX);
// 实时输出
System.out.println(filter);
}
scanner.close();
