使用黄金分割法计算点到 Bézier 曲线最短距离的方法

1. 问题建模

给定一个固定点P，以及一条 n 阶 Bézier 曲线：

B(t) = Σ（从 i=0 到 n）Pᵢ · Bᵢ,ₙ(t)， t ∈ [0, 1]

其中：

• Pᵢ 是第 i 个控制点（向量），
• Bᵢ,ₙ(t) = C(n, i) · tⁱ · (1 − t)ⁿ⁻ⁱ 是 Bernstein 基函数，
• C(n, i) = n! / (i! (n−i)!) 为二项式系数。

定义目标函数为点P到曲线上点B(t) 的欧氏距离的平方（避免开方以提升效率）：

f(t) = ‖B(t) −P‖² = (B(t) −P) · (B(t) −P)

目标是求解：

t* = argmin f(t)， t ∈ [0, 1]

2. 黄金分割法（Golden Section Search）

黄金分割法适用于在闭区间 [a, b] 上寻找单峰函数的极小值点。设黄金比例常数为：

φ = (√5 − 1) / 2 ≈ 0.6180339887

算法步骤如下：

1. 初始化区间：a₀ = 0，b₀ = 1
2. 计算两个内点：
   c = b − φ · (b − a)
   d = a + φ · (b − a)
3. 计算函数值：f(c) 和 f(d)
4. 迭代更新区间：
   - 若 f(c) < f(d)，则极小值在 [a, d]，令 b ← d
   - 否则，极小值在 [c, b]，令 a ← c
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