概率理论中的量子力学特性探索
1. 对称忠实态诱导的效应标量积
首先回顾通过对称忠实态在效应空间（EC）上构建标量积的过程，同时给出“转置”和“复共轭”的操作定义，二者组合得到伴随。
对于有限维的两个相同系统，根据定理 2 的第（2）项，任何相对于一个系统在制备上是忠实的态，对于同一系统在动力学上也是忠实的。并且根据假设 PFAITH，总是存在这样一个态 $\psi$，它在两个系统的置换下是对称的。这个态 $\psi$ 是效应实空间（ER）上的对称实形式，通过其 Jordan 形式为 ER 提供了一个非退化的标量积：
[
\forall a, b \in E_R, \quad (\psi(b|a)){\psi} := |\psi|(b, a) = \psi(\varsigma(b), a)
]
其中 $\varsigma$ 是对合 $\varsigma = \pi+ - \pi_-$，$\pi_{\pm}$ 表示对称形式的正（负）特征子空间上的正交投影算子，明确地，$\varsigma(a) := \sum_j \psi(a, \tilde{f}_j) \tilde{f}_j$，${\tilde{f}_j}$ 是规范 Jordan 基。
对于变换 $T \in T_R$，定义 $a \circ \varsigma(T) := \varsigma(\varsigma(a) \circ T) =: a \circ Z \circ T \circ Z$，对于恒等变换有 $\varsigma(I) = Z \circ Z = I$。对应于对称忠实的二部态 $\psi$，有广义变换 $T_{\psi}$：
[
