《P4139 上帝与集合的正确用法》

题目描述

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做元。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作 α 。 α 被定义为元构成的集合。容易发现，一共有两种不同的 α 。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作 β 。 β 被定义为 α 构成的集合。容易发现，一共有四种不同的 β。

第四天，上帝创造了新的元素 γ，γ 被定义为 β 的集合。显然，一共会有 16 种不同的 γ。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有 65536 种，第五种元素将会有 265536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素 θ 时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素 θ 一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对 p 取模后的值即可。

你可以认为上帝从 α 到 θ 一共创造了 109 次元素，或 1018 次，或者干脆 ∞ 次。

一句话题意：

定义 a0​=1,an​=2an−1​，可以证明 bn​=an​modp 在某一项后都是同一个值，求这个值。

输入格式

第一行一个整数 T，表示数据个数。

接下来 T 行，每行一个正整数 p，代表你需要取模的值。

输出格式

T 行，每行一个正整数，为答案对 p 取模后的值。

输入输出样例

输入 #1复制

3 2 3 6

输出 #1复制

0 1 4

说明/提示

对于 100% 的数据，T≤103，p≤107。

代码实现：

#include <iostream> #include <vector> // 补充vector头文件 using namespace std; // 补充命名空间，避免vector未识别 const int N = 10000005; int ph[N], d[N]; bool v[N]; vector<int> pr; // 现在可正常识别vector void init(int n) { ph[1] = 1; v[0] = v[1] = true; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (!v[i]) { pr.push_back(i); ph[i] = i - 1; d[i] = i; } for (size_t j = 0; j < pr.size() && i * pr[j] <= n; j++) { v[i * pr[j]] = true; d[i * pr[j]] = pr[j]; ph[i * pr[j]] = ph[i] * (pr[j] - (pr[j] < d[i])); if (i % pr[j] == 0) break; } } } int qp(int a, int n, int p) { a %= p; int ans = 1; while (n) { if (n & 1) ans = 1LL * ans * a % p; a = 1LL * a * a % p; n >>= 1; } return ans % p; } int f(int p) { return p == 1 ? 0 : qp(2, f(ph[p]) + ph[p], p); } int main() { init(N - 5); int T; cin >> T; while (T--) { int p; cin >> p; cout << f(p) << endl; } return 0; }