反馈系统的稳定性与鲁棒性分析
1. 反馈回路稳定性
在反馈系统中，需要证明从变量 $w$ 到其他函数的映射在 $L_2$ 空间上是有界的。已知从 $w$ 到 $p$ 和 $q$ 的映射在 $L_2$ 上有界，由于 $A_L$ 是 Hurwitz 矩阵，所以从 $w$ 到状态 $x_L$ 的映射在 $L_2$ 上也必然有界。而函数 $z$、$u$ 和 $y$ 都可以简单地表示为矩阵与 $w$、$x_L$ 和 $q$ 的乘积，因此从 $w$ 到它们的映射在 $L_2$ 上同样有界。从 $w$ 到 $z$ 的映射可由 $p$ 的公式以及算子 $M$ 的状态空间定义得出。
上述结论给出了 $L_{2e}$ 稳定性的一组充分条件，其中映射 $\Delta$ 在 $L_{2e}$ 上有定义且有界，但不一定是因果的。为了与之前的工作保持一致，我们希望从 $L_2$ 上的算子来定义扰动。
1.1 因果性与 $L_{2e}$ 上的映射
任何在 $L_{2e}$ 上有界的映射，通过限制其定义域，都可以定义为 $L(L_2)$ 中的一个元素。反之，若 $Q \in L(L_2)$，$Q$ 并非在整个 $L_{2e}$ 上都有定义，且不一定能在保持 $Q$ 线性的前提下将其定义域扩展到 $L_{2e}$。
例如，定义卷积算子 $Q$ 为 $(Qu)(t) = \int_{0}^{t} e^{(t - \tau)} u(\tau)d\tau$，它在 $L_2$ 上的诱导范数为 1。但对于某些 $L_{2e}$ 中的输入，如 $u(\tau) = e^{\tau}$，该积分会发散，因此无法使该算子对这些输入有意义。这个问题可归因于 $Q$ 的非因果性。
